• Язык
 

Математика для инженеров и технологов

ISBN: 978-5-9221-1156-0

Москва: Физматлит, 2009

Объем (стр):484

 

Постраничный просмотр для данной книги Вам недоступен.

Книга доступна только по подписке.

Аннотация

Книга рассчитана на студентов втузов, обучающихся на строительных, технологических и других родственных специальностях и изучающих курс математики в объеме примерно 350 часов аудиторных занятий с разбиением последних поровну на лекционные и практические. Она содержит все основные разделы математики, изучаемые студентами названных специальностей: элементы аналитической геометрии и линейной алгебры, диффренциальное и интегральное исчисления, основные сведения по уравнениям математической физики.
Для научных работников, преподавателей, аспирантов и студентов, специализирующихся в области математики и ее приложений.

Содержание

Предисловие 12
Глава 1. Элементы векторной алгебры 13
§ 1.1. Действительные числа, числовая ось 13
§ 1.2. Декартовы координаты. Полярные координаты 14
§ 1.3. Векторы, линейные операции над ними 15
§ 1.4. Проекция вектора на ось 18
§ 1.5. Разложение вектора по базисным векторам 18
§ 1.6. Линейные операции над векторами, заданными своими проекциями 20
§ 1.7. Длина вектора. Расстояние между двумя точками 20
§ 1.8. Направляющие косинусы вектора 21
§ 1.9. Скалярное произведение, угол между векторами. Условие ортогональности двух векторов 22
§ 1.10. Определители второго и третьего порядков. Векторное произведение, условие коллинеарности двух векторов, площадь треугольника 24
§ 1.11. Смешанное произведение и его геометрический смысл. Условие компланарности векторов 29
Глава 2. Элементы аналитической геометрии 31
§ 2.1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве 31
§ 2.2. Плоскость, общее уравнение плоскости 32
§ 2.3. Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей 34
§ 2.4. Расстояние от точки до плоскости в пространстве 35
§ 2.5. Прямая в пространстве и ее уравнения 36
§ 2.6. Канонические уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки 38
§ 2.7. Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности 39
§ 2.8. Уравнение линии на плоскости 39
§ 2.9. Общее уравнение прямой на плоскости, угол между прямыми 40
§ 2.10. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, условия параллельности и перпендикулярности прямых 41
§ 2.11. Уравнения прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом, и прямой, проходящей через две заданные точки 42
§ 2.12. Кривые второго порядка. Окружность 43
§ 2.13. Эллипс 43
§ 2.14. Гипербола 45
§ 2.15. Парабола 47
§ 2.16. Преобразование координат на плоскости 49
§ 2.17. Поверхности второго порядка. Сфера. Цилиндр 51
§ 2.18. Эллипсоид 53
§ 2.19. Конус 54
§ 2.20. Однополостный и двуполостный гиперболоиды 55
§ 2.21. Эллиптический и гиперболический параболоиды 57
§ 2.22. Понятие о многомерном евклидовом пространстве 58
Глава 3. Элементы линейной алгебры 61
§ 3.1. Определители высших порядков 61
§ 3.2. Свойства определителей 62
§ 3.3. Матрицы и действия над ними. Обратная матрица 63
§ 3.4. Системы n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными. Матричный метод решения 67
§ 3.5. Формулы Крамера 68
§ 3.6. Общая система линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса 70
§ 3.7. Ранг матрицы. Теорема Кронекера–Капелли 73
§ 3.8. Однородные системы 74
Глава 4. Теория пределов 76
§ 4.1. Обозначения, переменные, интервалы 76
§ 4.2. Абсолютная величина 77
§ 4.3. Функция, способы ее задания 78
§ 4.4. Предел функции при x → +∞ и его геометрический смысл 79
§ 4.5. Предел функции при x → x₀ и его геометрический смысл. Односторонние пределы 82
§ 4.6. Теоремы о пределах. Ограниченные функции 83
§ 4.7. Бесконечно малые функции и их свойства 84
§ 4.8. Бесконечно большая функция, ее связь с бесконечно малой 87
§ 4.9. Свойства пределов 88
§ 4.10. Переход к пределу в неравенствах 89
§ 4.11. Первый замечательный предел 90
§ 4.12. Предел последовательности. Второй замечательный предел. Натуральные логарифмы 91
§ 4.13. Сравнение бесконечно малых функций 93
§ 4.14. Непрерывность функции в точке и в интервале 94
§ 4.15. Свойства непрерывных функций 96
§ 4.16. Точки разрыва функции 97
Глава 5. Производные функции одной переменной 99
§ 5.1. Задача об определении скорости 99
§ 5.2. Определение, механический и геометрический смыслы производной 100
§ 5.3. Касательная и нормаль к кривой. Существование производной 102
§ 5.4. Дифференцируемость функции 103
§ 5.5. Производная постоянной. Правила дифференцирования 104
§ 5.6. Производные тригонометрических и логарифмической функций 106
§ 5.7. Производная сложной функции 107
§ 5.8. Производные степенной и показательной функций. Логарифмическое дифференцирование 109
§ 5.9. Неявная функция и ее производная 110
§ 5.10. Обратная функция и ее производная 110
§ 5.11. Производные обратных тригонометрических функций 112
§ 5.12. Функция, заданная параметрически, и ее дифференцирование 114
§ 5.13. Дифференциал функции и его применение в приближенных вычислениях 115
§ 5.14. Производные и дифференциалы высших порядков 117
Глава 6. Функции, непрерывные в замкнутом интервале. Правило Лопиталя 119
§ 6.1. Свойства функций, непрерывных в замкнутом интервале 119
§ 6.2. Теоремы Ферма и Ролля 121
§ 6.3. Теоремы Коши и Лагранжа 123
§ 6.4. Правило Лопиталя 125
§ 6.5. Раскрытие неопределенностей 127
Глава 7. Исследование поведения функции одной переменной 129
§ 7.1. Возрастание и убывание функции 129
§ 7.2. Точки экстремума функции. Необходимый признак экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутом интервале 130
§ 7.3. Достаточные признаки экстремума функции 133
§ 7.4. Выпуклость линии. Точки перегиба кривой 136
§ 7.5. Асимптоты кривой 138
§ 7.6. Общая схема исследования функций и построения графиков 141
Глава 8. Геометрические приложения производных 143
§ 8.1. Производная длины дуги кривой 143
§ 8.2. Кривизна кривой на плоскости 145
§ 8.3. Радиус, центр и круг кривизны кривой на плоскости 147
§ 8.4. Параметрические и векторное уравнения линии в пространстве 148
§ 8.5. Предел и производная векторной функции скалярного аргумента 149
§ 8.6. Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости для пространственной кривой 152
§ 8.7. Первая и вторая производные векторной функции скалярного аргумента по длине дуги кривой 153
§ 8.8. Соприкасающаяся плоскость кривой 157
Глава 9. Функции многих переменных 160
§ 9.1. Функции двух переменных и способы их задания 160
§ 9.2. Геометрическое представление функции двух переменных 162
§ 9.3. Функции трех и большего числа переменных. Частное и полное приращения функции 163
§ 9.4. Предел функции 164
§ 9.5. Непрерывность, точки и линии разрыва функций 166
§ 9.6. Свойства функций, непрерывных в конечной (ограниченной) замкнутой области 167
§ 9.7. Частные производные 168
§ 9.8. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных 169
§ 9.9. Полный дифференциал 170
§ 9.10. Применение полного дифференциала функции в приближенных вычислениях 173
§ 9.11. Производная сложной функции 173
§ 9.12. Дифференцирование функций, заданных неявно 176
§ 9.13. Частные производные высших порядков 177
§ 9.14. Экстремумы. Необходимые признаки экстремума функции двух переменных 178
§ 9.15. Достаточный признак экстремума. Схема исследования на экстремум функции двух переменных 180
§ 9.16. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой области 182
§ 9.17. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 183
§ 9.18. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности 185
§ 9.19. Скалярное поле 186
§ 9.20. Производная по направлению 187
§ 9.21. Градиент функции и его связь с производной по направлению 189
Глава 10. Комплексные числа и функции. Элементы топологии и параметризации 191
§ 10.1. Комплексные числа и действия над ними 191
§ 10.2. Геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексного числа 192
§ 10.3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа 194
§ 10.4. Показательная функция комплексного аргумента 195
§ 10.5. Комплексная функция действительного аргумента и ее производная 196
§ 10.6. Элементы топологии. Простые куски 196
§ 10.7. Параметризация поверхности 198
§ 10.8. Параметрические уравнения сферы 201
Глава 11. Неопределенный интеграл 203
§ 11.1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов 203
§ 11.2. Свойства неопределенного интеграла 205
§ 11.3. Замена переменной в неопределенном интеграле 207
§ 11.4. Интегрирование по частям 208
§ 11.5. Интегрирование простейших рациональных дробей 209
§ 11.6. Разложение многочлена на множители 212
§ 11.7. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби 213
§ 11.8. Интегрирование рациональных дробей 216
§ 11.9. Интегрирование простейших иррациональных функций 216
§ 11.10. Интегрирование тригонометрических функций 217
§ 11.11. Интегрирование иррациональных функций с помощью тригонометрических замен 219
Глава 12. Определенный интеграл 221
§ 12.1. Площадь криволинейной трапеции 221
§ 12.2. Определение и геометрический смысл определенного интеграла 222
§ 12.3. Свойства определенного интеграла 224
§ 12.4. Производная от определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона–Лейбница 229
§ 12.5. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям 231
§ 12.6. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур 233
§ 12.7. Площадь криволинейного сектора 237
§ 12.8. Вычисление длины дуги кривой 238
§ 12.9. Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями 241
§ 12.10. Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений. Объем тела вращения 242
§ 12.11. Приближенное вычисление определенного интеграла методом трапеций 244
Глава 13. Несобственные и кратные интегралы 246
§ 13.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами 246
§ 13.2. Несобственные интегралы от разрывных функций 247
§ 13.3. Объем цилиндрического тела 249
§ 13.4. Двойной интеграл и его геометрический смысл 250
§ 13.5. Тройной интеграл и его физический смысл. Теорема существования кратных интегралов 251
§ 13.6. Свойства двойного (тройного) интеграла 254
§ 13.7. Вычисление двойного интеграла 255
§ 13.8. Замена переменных в двойном интеграле 259
§ 13.9. Переход к полярным координатам в двойном интеграле 260
§ 13.10. Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла 262
§ 13.11. Вычисление объемов с помощью двойных интегралов 266
§ 13.12. Вычисление тройного интеграла 267
§ 13.13. Переход к цилиндрическим координатам в тройном интеграле 273
Глава 14. Криволинейные интегралы 275
§ 14.1. Криволинейные интегралы по координатам и их вычисление 275
§ 14.2. Применение криволинейных интегралов к вычислению работы 280
§ 14.3. Формула Грина. Связь между двойным интегралом и криволинейным интегралом по координатам 281
§ 14.4. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования 283
§ 14.5. Криволинейный интеграл по длине 286
§ 14.6. Криволинейные интегралы вдоль пространственных кривых 289
§ 14.7. Применение кратных и криволинейных интегралов к вычислению координат центра тяжести тел 291
Глава 15. Обыкновенные дифференциальные уравнения 294
§ 15.1. Общие понятия о дифференциальных уравнениях 294
§ 15.2. Дифференциальные уравнения первого порядка 296
§ 15.3. Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка 297
§ 15.4. Приближенное решение дифференциального уравнения первого порядка 298
§ 15.5. Дифференциальные уравнения с разделенными и с разделяющимися переменными 299
§ 15.6. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка 301
§ 15.7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка 303
§ 15.8. Дифференциальные уравнения высших порядков 304
§ 15.9. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка 306
§ 15.10. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков и свойства их решений 307
§ 15.11. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 310
§ 15.12. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами 313
§ 15.13. Линейные неоднородные уравнения второго порядка 315
§ 15.14. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения второго порядка 317
§ 15.15. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка 319
§ 15.16. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами 321
§ 15.17. Об одном методе решения системы дифференциальных уравнений первого порядка 324
Глава 16. Числовые ряды 327
§ 16.1. Сходимость и сумма ряда 327
§ 16.2. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости 328
§ 16.3. Признаки сравнения рядов 330
§ 16.4. Признак Даламбера 332
§ 16.5. Радикальный и интегральный признаки Коши 334
§ 16.6. Знакочередующиеся ряды 337
§ 16.7. Знакопеременные ряды 338
Глава 17. Степенные ряды 341
§ 17.1. Теорема Абеля 341
§ 17.2. Радиус сходимости степенного ряда 342
§ 17.3. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов 344
§ 17.4. Ряды по степеням x — x₀ 345
§ 17.5. Формула Тейлора 346
§ 17.6. Ряды Тейлора и Маклорена 347
§ 17.7. Разложение некоторых функций в ряд Маклорена 349
§ 17.8. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях 352
§ 17.9. Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов 353
Глава 18. Ряды Фурье 356
§ 18.1. Предварительные замечания 356
§ 18.2. Ряд Фурье. Условия Дирихле 358
§ 18.3. Ряды Фурье для четных и нечетных функций 362
§ 18.4. Ряды Фурье для функции с произвольным периодом 363
§ 18.5. Разложение функции, заданной в интервале, в ряд Фурье по синусам или косинусам 365
Глава 19. Уравнения математической физики 367
§ 19.1. Основные типы уравнений математической физики 367
§ 19.2. Уравнение колебаний струны 367
§ 19.3. Метод разделения переменных (метод Фурье) 371
§ 19.4. Уравнение теплопроводности. Начальные и краевые (граничные) условия. Стационарный случай. Задача Дирихле 375
§ 19.5. Задача Дирихле для круга 376
§ 19.6. Решение уравнения теплопроводности методом Фурье 380
Глава 20. Интегралы по поверхности 382
§ 20.1. Определение и свойства интеграла по поверхности 382
§ 20.2. Вычисление проекций вектора нормали к поверхности 383
§ 20.3. Вычисление интеграла по поверхности 385
§ 20.4. Применение интеграла по поверхности к решению физических задач 387
§ 20.5. Формула Остроградского 391
§ 20.6. Формула Стокса. Условия независимости криволинейного интеграла по пространственной кривой от линии интегрирования 393
Глава 21. Элементы теории векторного поля 397
§ 21.1. Понятия векторного поля и векторной линии 397
§ 21.2. Поток вектора через поверхность 398
§ 21.3. Дивергенция векторного поля 401
§ 21.4. Циркуляция, ротор (вихрь) векторного поля 402
§ 21.5. Оператор Гамильтона. Оператор Лапласа 406
§ 21.6. Простейшие векторные поля 407
Глава 22. Элементы теории вероятностей. Случайные события 410
§ 22.1. Статистическое и классическое определения вероятности случайного события. Геометрическая вероятность 410
§ 22.2. Вероятность суммы несовместных событий 413
§ 22.3. Противоположные и совместные события. Вероятность произведения независимых событий 415
§ 22.4. Вероятность суммы совместных событий. Зависимые события. Условная вероятность 417
§ 22.5. Формула полной вероятности 420
§ 22.6. Вероятность гипотез. Формула Байеса 421
§ 22.7. Повторные испытания. Формула Бернулли 422
Глава 23. Элементы теории вероятностей. Случайные величины 426
§ 23.1. Дискретная случайная величина. Закон распределения 426
§ 23.2. Непрерывная случайная величина. Функция распределения 428
§ 23.3. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины 429
§ 23.4. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал 430
§ 23.5. Нормальный закон распределения 431
§ 23.6. Числовые характеристики дискретной случайной величины 433
§ 23.7. Числовые характеристики непрерывной случайной величины 437
§ 23.8. Неравенство Чебышева 439
§ 23.9. Теорема Чебышева 441
§ 23.10. Теорема Бернулли, центральная предельная теорема Ляпунова 443
§ 23.11. Двумерная случайная величина 444
§ 23.12. Функция распределения двумерной непрерывной случайной величины 445
§ 23.13. Плотность распределения вероятностей двумерной непрерывной случайной величины, ее связь с функцией распределения 446
§ 23.14. Законы распределения вероятностей составляющих двумерной случайной величины 449
§ 23.15. Условные законы распределения вероятностей составляющих двумерной случайной величины 451
§ 23.16. Числовые характеристики двумерной случайной величины 452
§ 23.17. Условные математические ожидания 453
§ 23.18. Зависимость и независимость случайных величин 454
§ 23.19. Нормальный закон распределения на плоскости 457
§ 23.20. Об аксиоматическом подходе в теории вероятностей 458
Глава 24. Элементы математической статистики 460
§ 24.1. Простой статистический ряд. Статистическая функция распределения. Статистический ряд. Гистограмма 460
§ 24.2. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины 466
§ 24.3. Интервальная оценка математического ожидания непрерывной случайной величины 469
§ 24.4. О сходимости по вероятности статистического среднего и статистической дисперсии. Состоятельные, несмещенные и эффективные оценки 472
§ 24.5. Проверка статистических гипотез 473
Приложение 479
Список литературы 483

Рекомендации материалов по теме: нет