• Язык
 

Основы алгебры: учебник

Дисциплина: Алгебра

Жанр: Учебники и учебные пособия для ВУЗов

Допущено НМС по математике Минобрнауки РФ в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки 010100 «Математика», 010400 «Прикладная математика и информатика»

ISBN: 978-5-9221-1728-9

Москва: Физматлит, 2017

Объем (стр):464

 

Постраничный просмотр для данной книги Вам недоступен.

Книга доступна только по подписке.

Аннотация

В учебнике систематически излагаются основные понятия алгебры — от элементарных, с которых начинается ее изучение, до не очень простых, включающих теорию полиномиальных уравнений, которая необходима, в частности, для понимания свойств тензорных разложений многомерной матрицы. Каких-либо специальных знаний, кроме школьной программы, от читателя не требуется.
Книга будет интересна широкому кругу студентов, изучающих математику и ее приложения, а также аспирантам и специалистам, желающим углубить свои знания.

Содержание

Предисловие 8
Глава 1. Введение 11
1.1. Предмет алгебры 11
1.2. Арифметические векторы 12
1.3. Линейная зависимость и независимость 16
1.4. Подстановки и перестановки 19
1.5. Определитель и формулы Крамера 22
1.6. Теорема Лапласа 28
1.7. Операции с матрицами 31
1.8. Обратная матрица 37
1.9. Формула Бине–Коши 40
1.10. Ранг матрицы 43
1.11. Однородные системы 48
1.12. Скалярное и векторное произведения 49
1.13. Кривые второго порядка 56
1.14. Ступенчатые матрицы и треугольные разложения 64
1.15. Алгоритмы и оценки сложности вычислений 68
1.16. Комплексные числа и комплексные матрицы 73
Глава 2. Что нужно знать о группах 79
2.1. Определение группы 79
2.2. Избыточность в определении группы 84
2.3. Аддитивные и мультипликативные группы 85
2.4. Изоморфизмы групп 87
2.5. Группа корней n-й степени из единицы 89
2.6. Группы и подгруппы 91
2.7. Смежные классы и нормальные подгруппы 93
2.8. Циклические группы 96
2.9. Действие группы на множестве 98
2.10. Группа движений 101
2.11. Группа дробно-линейных преобразований комплексной плоскости 102
2.12. Гомоморфизмы групп 103
2.13. Теорема Кэли о конечных группах 106
2.14. Конечно порожденные абелевы группы 107
Глава 3. Кольца, поля, многочлены 111
3.1. Определения кольца и поля 111
3.2. Поле вычетов 116
3.3. Кольцо многочленов 118
3.4. Деление с остатком и алгоритм Евклида 120
3.5. Разложение на неприводимые множители 124
3.6. Многочлены с целыми коэффициентами 126
3.7. Круговые многочлены 129
3.8. Поле частных 130
3.9. Многочлены от нескольких переменных 132
3.10. Матрица Сильвестра и результант 136
3.11. Симметрические многочлены 139
Глава 4. Линейные пространства, поля и их расширения 144
4.1. Линейные пространства и подпространства 144
4.2. Базисы и размерность 148
4.3. Конечные и алгебраические расширения полей 153
4.4. Присоединение корня 156
4.5. Поле разложения 159
4.6. Производная многочлена и кратные корни 162
4.7. Неприводимость круговых многочленов 164
4.8. Малая теорема Веддерберна 165
4.9. Конечные поля 166
4.10. Мультипликативная группа конечного поля 168
4.11. Расширения полей в геометрии 170
4.12. Основная теорема алгебры 171
Глава 5. Линейные операторы 177
5.1. Определение линейного оператора 177
5.2. Операторы и матрицы 180
5.3. Характеристический многочлен 184
5.4. Матричные многочлены и подобие 189
5.5. Собственные значения и собственные векторы 193
5.6. Теорема Шура и нормальные матрицы 196
5.7. Сингулярное разложение 200
5.8. Инвариантные пространства и прямая сумма операторов 206
5.9. Нильпотентные операторы и корневое разложение 210
5.10. Пространства Крылова и максимальное расщепление 213
5.11. Жорданова форма 219
5.12. Блочная жорданова форма вещественной матрицы 221
5.13. Вычисление минимального многочлена 224
5.14. Резольвенты Лагранжа 228
Глава 6. Нормы и неравенства 236
6.1. Расстояния, нормы, длины 236
6.2. Сходимость, полнота, пополнение 240
6.3. Ограниченность, замкнутость, компактность 244
6.4. Нормы линейных операторов 250
6.5. Выпуклые множества и выпуклые функции 253
6.6. Неравенства Гёльдера и Минковского 259
6.7. Наилучшие приближения на выпуклых множествах 261
6.8. Разделяющие и опорные гиперплоскости 263
6.9. Продолжение линейных функционалов 266
6.10. Системы линейных неравенств 269
6.11. Грани полиэдра и выпуклые многогранники 273
6.12. Сопряженный оператор и нормальные операторы 276
6.13. Собственные значения эрмитовых матриц 280
6.14. Конгруэнтность и закон инерции 286
6.15. Мажоризация и двоякостохастические матрицы 289
6.16. Унитарно инвариантные нормы 294
Глава 7. Группы, поля, уравнения 299
7.1. Линейная независимость автоморфизмов поля 299
7.2. Неподвижные поля и группы автоморфизмов 301
7.3. Группы Галуа и поля разложения 304
7.4. Вычисление группы Галуа 309
7.5. Теория Галуа 313
7.6. Примитивные расширения 315
7.7. Циклические и радикальные расширения 317
7.8. Полициклические расширения 319
7.9. Теорема Абеля–Галуа 322
7.10. Казус Руффини 327
7.11. Концептуальный вывод основной теоремы алгебры 330
7.12. Теорема Силова 332
Глава 8. Кольца и идеалы 336
8.1. Идеалы и вычеты 336
8.2. Идеалы и модули 339
8.3. Радикалы и нильпотенты 341
8.4. Простые и примарные идеалы 342
8.5. Кольца частных, расширения и сужения идеалов 347
8.6. Максимальные идеалы и локальные кольца 350
8.7. Упорядоченные множества 353
8.8. Неконструктивные построения 357
8.9. Алгебраическое замыкание поля 360
8.10. Алгебраическая зависимость и независимость 362
8.11. Целая алгебраическая зависимость 366
8.12. Дифференцирования в кольцах и полях 372
8.13. Теорема Гильберта о базисе 375
8.14. Деление с остатком и базисы Грёбнера 377
8.15. Критерий Бухбергера 381
Глава 9. Алгебраические многообразия 386
9.1. Множества нулей и аннуляторы 386
9.2. Условие совместности 389
9.3. Теорема Нётер о нормализации 391
9.4. Теорема Гильберта о нулях 394
9.5. Неприводимые многообразия 397
9.6. Координатные кольца и полиномиальные отображения 399
9.7. Рациональные отображения 403
9.8. Проекции многообразия 405
9.9. Конструктивные множества 411
9.10. Размерность и степень 413
9.11. Размерность собственного подмногообразия 421
9.12. Размерность многообразия и ранг матрицы Якоби 422
9.13. Размерность пересечения многообразий 425
9.14. Комплексные многообразия 431
9.15. Подготовительная теорема Вейерштрасса 435
9.16. Применение теорем о неявной функции 439
9.17. Главные тензорные ранги трехмерных матриц 446
Список литературы 449
Предметный указатель 451

Рекомендации материалов по теме: нет