• Язык
   

 

Уравнения с частными производными: учебник

Дисциплина: Математический анализ Дифференциальные уравнения Прикладная математика

Жанр: Учебники и учебные пособия для ВУЗов

Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений

ISBN: 978-5-9221-1756-2

Москва: Физматлит, 2017

Объем (стр):334

Дополнительная информация:2-е изд., стер.

 

Постраничный просмотр для данной книги Вам недоступен.

Книга доступна только по подписке.

Аннотация

Теория уравнений с частными производными изложена в объеме, соответствующем программам математики для естественных факультетов университетов (кроме физических специальностей, у которых программа математики обширнее). Изложение сопровождается разнообразными примерами.
Книга предназначена студентам естественных факультетов.

Содержание

Предисловие 7
Глава 1. Уравнения с частными производными первого порядка 9
§ 1. Линейные уравнения. Характеристики 9
§ 2. Квазилинейные уравнения 14
§ 3. Задача Коши 18
§ 4. Линейные и нелинейные волны 25
Глава 2. Начальные сведения из функционального анализа 30
§ 1. Бесконечномерные линейные пространства 30
§ 2. Ортогональные системы функций и ряды Фурье 42
§ 3. Коэффициенты Фурье и неравенство Бесселя 47
Глава 3. Тригонометрические ряды Фурье 52
§ 1. Разложение функций в ряд Фурье по тригонометрической системе 52
§ 2. Ряды Фурье 2 -периодических функций. Комплексная форма рядов Фурье 61
§ 3. Явление Гиббса 62
Глава 4. Метод Фурье 66
§ 1. Основные уравнения математической физики 66
§ 2. Постановка краевых задач 71
§ 3. Сущность метода Фурье на примере первой краевой задачи для уравнения теплопроводности 81
§ 4. Краевая задача для волнового уравнения 86
§ 5. Задача Дирихле в прямоугольнике 90
§ 6. Краевая задача для одномерного уравнения диффузии с условием Неймана на одном из концов 92
§ 7. Метод Фурье для неоднородного уравнения 94
§ 8. Задача Дирихле в круге. Интеграл Пуассона 96
§ 9. Примеры применения метода Фурье 100
Глава 5. Классификация уравнений 105
§ 1. Типы уравнений 105
§ 2. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными 107
§ 3. Корректная постановка задач 119
§ 4. Корректные краевые задачи для волнового уравнения 126
§ 5. Корректные задачи для уравнения теплопроводности 132
§ 6. Задача без начальных условий для уравнения теплопроводности. Температурные волны 137
Глава 6. Начальные сведения о сеточных методах 141
§ 1. Основные понятия. Явная и неявная схемы для уравнения теплопроводности (первая краевая задача) 141
§ 2. Задача Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона в прямоугольной области 151
Глава 7. Свойства гармонических функций. Функция Грина задачи Дирихле 156
§ 1. Формулы Грина 156
§ 2. Интегральное представление гармонических функций 157
§ 3. Основные свойства гармонических функций 160
§ 4. Внешняя задача Дирихле. Теорема единственности 164
§ 5. Функция Грина для задачи Дирихле уравнения Лапласа 165
§ 6. Функция Грина для шара, круга и полупространства 168
§ 7. Объемный потенциал 175
§ 8. Восстановление векторного поля по его дивергенции и ротору 182
Глава 8. Преобразования Фурье и Лапласа 187
§ 1. Интегральные преобразования 187
§ 2. Интегральная формула Фурье 188
§ 3. Преобразование Лапласа 206
§ 4. Резонанс при наличии сопротивления 216
Глава 9. Примеры приложений уравнений с частными производными в различных естественно-научных задачах 223
§ 1. Одномерные уравнения колебаний 223
§ 2. Вывод уравнения, описывающего процесс сорбции газа 228
§ 3. Течение воды в канале 231
§ 4. Задача Штурма–Лиувилля о собственных значениях. Некоторые свойства собственных значений и собственных функций 238
§ 5. Цилиндрические функции 242
§ 6. Сферические функции. Задача Дирихле для шара и для шарового слоя 247
§ 7. Стоячие волны на круглой мембране 259
§ 8. Стационарная диффузия в полубесконечной цилиндрической трубке 262
§ 9. Уравнения гидродинамики и звуковых волн. Гравитационные волны в гидродинамике 266
§ 10. Уравнение краткосрочного прогноза погоды 282
§ 11. Расчет потенциала ионной атмосферы, ее радиуса и ионной силы в теории Дебая–Хюккеля 288
§ 12. Уравнение Шрёдингера 292
§ 13. О применении обобщенного метода разделения переменных в нелинейных задачах 310
Контрольные вопросы по главам 320
Заключение 323
Список литературы 324
Предметный указатель 326

Рекомендации материалов по теме: нет