• Язык
   

 

Геометрия Лобачевского

ISBN: 978-5-00101-453-9

М.: Лаборатория знаний, 2017

Объем (стр):467

Дополнительная информация:3-е изд. (эл.)

 

Постраничный просмотр для данной книги Вам недоступен.

Аннотация

Эта книга выгодно отличается от других пособий по геометрии Лобачевского. Материал излагается на основе школьной аксиоматики абсолютной геометрии и аксиомы Лобачевского. Первая часть книги посвящена планиметрии Лобачевского, а вторая – стереометрии. В конце каждой главы даются задачи, в конце книги – ответы и указания к ним.

Книга может с успехом использоваться студентами и преподавателями и физико-математических факультетов университетов, и педагогических вузов. Она также будет полезна учителям классов с углубленным изучением математики для индивидуальной работы с учениками, интересующимися математикой.

Содержание

Предисловие 3
Часть I. Планиметрия
Глава 1. Обзор основных фактов абсолютной геометрии на плоскости 6
§ 1. Обзор основных следствий и аксиом групп I–III абсолютной планиметрии 6
§ 2. Треугольники 11
§ 3. Аксиомы непрерывности. Измерение отрезков и углов 18
§ 4. Движения. Осевая и центральная симметрии 23
§ 5. Сонаправленность лучей. Направленная прямая 28
Задачи к главе 1 32
Глава 2. Аксиома Лобачевского. Параллельные прямые на плоскости Лобачевского 35
§ 6. Аксиома Лобачевского. Теоремы о сумме углов треугольника и четырехугольника 35
§ 7. Признаки равенства треугольников на плоскости Лобачевского 41
§ 8. Предложения, эквивалентные аксиоме Лобачевского 46
§ 9. Параллельность луча и прямой 51
§ 10. Параллельность направленных прямых 55
§ 11. Параллельность ненаправленных прямых 60
§ 12. Функция Лобачевского 64
Задачи к главе 2 69
Глава 3. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского 73
§ 13. Двупрямоугольник. Четырехугольник Саккери 73
§ 14. Взаимное расположение параллельных прямых 77
§ 15. Расходящиеся прямые 85
§ 16. Заградительные прямые 91
§ 17. Проекция прямой на прямую 99
Задачи к главе 3 104
Глава 4. Окружность, эквидистанта и орицикл 107
§ 18. Пучки прямых на плоскости Лобачевского и их образы при движении 107
§ 19. Траектории пучков 112
§ 20. Окружность 120
§ 21. Взаимное расположение прямой и окружности и двух окружностей 126
§ 22. Эквидистанта 132
§ 23. Орицикл 138
§ 24. Взаимное расположение прямой и орицикла. Предельная линия 146
Задачи к главе 4 154
Глава 5. Треугольники, четырехугольники и правильные многоугольники 158
§ 25. Сумма углов треугольника 158
§ 26. Замечательные точки и прямые треугольника 166
§ 27. Взаимное расположение прямых, содержащих высоты треугольника 172
§ 28. Основные виды выпуклых четырехугольников 178
§ 29. Правильные многоугольники 189
Задачи к главе 5 195
Глава 6. Движения плоскости Лобачевского. Классификация движений 198
§ 30. Движения плоскости. Произведение движений 198
§ 31. Инвариантные точки и инвариантные прямые движения 202
§ 32. Орициклическое движение 210
§ 33. Классификация движений на плоскости Лобачевского 216
§ 34. Группа симметрий циклических линий 218
§ 35. Конгруэнтные отображения прямой на прямую. Движения прямой 221
Задачи к главе 6 225
Глава 7. Расширенная плоскость. Вырожденные треугольники 228
§ 36. Отображение плоскости Лобачевского на открытый круг 228
§ 37. Образы простейших фигур при отображении ?Or 234
§ 38. Несобственные точки плоскости. Расширенная плоскость 240
§ 39. Вырожденные треугольники 246
§ 40. Биссектрисы и высоты вырожденного треугольника 252
§ 41. Движения расширенной плоскости 261
Задачи к главе 7 269
Глава 8. Дефект и площадь многоугольника на плоскости Лобачевского 273
§ 42. Дефект многоугольника 273
§ 43. Площадь многоугольника. Равносоставленные и равновеликие многоугольники 280
§ 44. Основные теоремы о площадях многоугольников 285
§ 45. Площадь вырожденного треугольника 291
Задачи к главе 8 296
Часть II. Стереометрия
Глава 1. Обзор основных фактов абсолютной геометрии в пространстве 300
§ 1. Обзор основных следствий из аксиом абсолютной геометрии трехмерного пространства 300
§ 2. Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости 303
§ 3. Перпендикулярность плоскостей 306
§ 4. Движения пространства 310
Глава 2. Аксиома Лобачевского. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве Лобачевского 314
§ 5. Аксиома Лобачевского. Параллельность лучей 314
§ 6. Параллельность прямых в пространстве. Взаимное расположение прямых 317
§ 7. Параллельность прямой и плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскости 321
§ 8. Параллельность плоскостей 327
§ 9. Взаимное расположение двух плоскостей 332
Задачи к главе 2 338
Глава 3. Простейшие поверхности в пространстве Лобачевского 341
§ 10. Связки прямых в пространстве и их траектории 341
§ 11. Сфера 350
§ 12. Эквидистантная поверхность 354
§ 13. Орисфера 361
Глава 4. Орицикл. Внутренние геометрии орисферы и эквидистантной поверхности 368
§ 14. Длина дуги орицикла 368
§ 15. Концентрические дуги орициклов 372
§ 16. Гиперболические функции 377
§ 17. Трехвершинник. Абсолютная дуга орицикла 379
§ 18. Внутренние геометрии орисферы и эквидистантной поверхности 386
Задачи к главе 4 392
Глава 5. Гиперболическая тригонометрия и ее приложения 394
§ 19. Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике 394
§ 20. Тригонометрические соотношения в произвольном треугольнике 400
§ 21. Аналитическое выражение функции Лобачевского 406
§ 22. Теорема Чевы, свойства биссектрис и медиан треугольника 410
Задачи к главе 5 415
Глава 6. Непротиворечивость геометрии Лобачевского. Геометрия Лобачевского и реальное пространство 417
§ 23. Интерпретация Кэли—Клейна системы аксиом трехмерной геометрии Лобачевского 417
§ 24. Наложения в интерпретации Кэли—Клейна 421
§ 25. Проверка выполнения аксиом групп III–V в интерпретации Кэли—Клейна 429
§ 26. Открытие геометрии Лобачевского 432
§ 27. Геометрия Лобачевского и реальное пространство 436
Задачи к главе 6 441
Приложение 1 442
Приложение 2 444
Указания и ответы 447
Литература 455
Предметный указатель 456

Рекомендации материалов по теме: нет