Матричный анализ и линейная алгебраБиблиотека Нон-фикшн читать электронные книги

Матричный анализ и линейная алгебра: учебное пособие

Автор: Тыртышников Е. Е.

Дисциплина: Линейная алгебра Математика Прикладная математика

Жанр: Учебники и учебные пособия для вузов

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки «Математика», «Прикладная математика и информатика»

Год издания: 2007

Издательство: Физматлит

Объем (стр.): 477

ISBN: 978-5-9221-0778-5

Постраничный просмотр для данной книги Вам недоступен.

Книга доступна только по подписке.

Выгрузить: RusMarc / RusMarc (UTF8)

Аннотация / Содержание / Библиографическое описание

В книге излагаются основы матричного анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии, при этом раскрываются глубокие связи предмета с другими разделами математики и дается представление о современных тенденциях его развития и приложениях к задачам численного анализа.
Для студентов и преподавателей факультетов прикладной математики, математики и механики, физических и инженерных специальностей, а также лиц, профессионально применяющих методы матричного анализа и линейной алгебры.

Предисловие	19
Лекция 1	23
1.1. Линейные отображения и матрицы	23
1.2. Умножение матриц	24
1.3. Ассоциативность умножения матриц	24
1.4. Некоммутативность умножения матриц	25
1.5. Сложение матриц и умножение на число	25
1.6. Умножение блочных матриц	25
1.7. Вычислительный аспект умножения матриц	26
1.8. Хороша ли программа?	26
1.9. Метод Винограда	27
1.10. Метод Штрассена	27
1.11. Рекурсия для (n × n)-матриц	28
Лекция 2	30
2.1. Множества и элементы	30
2.2. Отображения, функции, операторы	31
2.3. Алгебраические операции	31
2.4. Ассоциативность и скобки	32
2.5. Ассоциативность при умножении матриц	33
2.6. Группы	33
2.7. Примеры абелевых групп	34
2.8. Группа невырожденных диагональных матриц	34
2.9. Группа невырожденных треугольных матриц	35
2.10. Подгруппы	35
2.11. Степени элемента	36
2.12. Циклические группы	36
Лекция 3	37
3.1. Система линейных алгебраических уравнений	37
3.2. Линейные комбинации	37
3.3. Линейная зависимость	38
3.4. Линейная независимость	39
3.5. Транзитивность линейной зависимости	40
3.6. Монотонность числа линейно независимых векторов	40
3.7. Базис и размерность	41
3.8. Дополнение до базиса	42
3.9. Существование базиса	42
3.10. Совместность системы линейных алгебраических уравнений	43
Лекция 4	44
4.1. Индикатор линейной зависимости	44
4.2. Подстановки и перестановки	44
4.3. Циклы и транспозиции	46
4.4. Четность подстановки	47
4.5. Единственность индикатора линейной зависимости	49
4.6. Определитель	50
Лекция 5	52
5.1. Определитель транспонированной матрицы	52
5.2. Определитель как функция столбцов (строк) матрицы	53
5.3. Существование индикатора линейной зависимости	54
5.4. Подматрицы и миноры	55
5.5. Замечание о подстановках	56
5.6. Разбиение множества подстановок на подмножества	56
5.7. Теорема Лапласа	58
5.8. Определитель блочно-треугольной матрицы	59
Лекция 6	60
6.1. Обратная матрица	60
6.2. Критерий обратимости матрицы	61
6.3. Обращение и транспонирование	62
6.4. Группа обратимых матриц	62
6.5. Обращение невырожденной матрицы	63
6.6. Правило Крамера	64
6.7. Определитель произведения матриц	64
6.8. Обратимость и невырожденность	65
Лекция 7	67
7.1. Разделение переменных и матрицы	67
7.2. Скелетное разложение	67
7.3. Ранг матрицы	68
7.4. Окаймление обратимой подматрицы	69
7.5. Теорема о базисном миноре	70
7.6. Ранги и матричные операции	71
7.7. Однородная система линейных алгебраических уравнений	73
7.8. Теорема Кронекера–Капелли	75
7.9. Общее решение системы линейных алгебраических уравнений	75
7.10. Неустойчивость ранга	76
Лекция 8	77
8.1. Исключение неизвестных	77
8.2. Элементарные матрицы	77
8.3. Ступенчатые матрицы	80
8.4. Приведение к ступенчатой форме	80
8.5. Приведение к диагональной форме	81
8.6. Эквивалентные матрицы	82
8.7. Метод Гаусса и LU-разложение	82
8.8. LU-разложение и строго регулярные матрицы	83
Лекция 9	85
9.1. Метод координат	85
9.2. Направленные отрезки	86
9.3. Отношение эквивалентности	87
9.4. Свободный вектор	89
9.5. Линейные операции над векторами	89
9.6. Координаты вектора	90
9.7. Изоморфизм и линейная зависимость	91
9.8. Коллинеарные и компланарные векторы	92
9.9. Прямая на плоскости	93
9.10. Плоскость в пространстве	94
9.11. Преобразование координат	95
9.12. Полуплоскости и полупространства	96
Лекция 10	98
10.1. Скалярное произведение геометрических векторов	98
10.2. Скалярное произведение и координаты	99
10.3. Об обобщениях	99
10.4. Ориентация системы векторов	100
10.5. Векторное и смешанное произведения	101
10.6. Векторное произведение в декартовых координатах	103
10.7. Смешанное произведение в декартовых координатах	104
10.8. Нормали к прямой и плоскости	105
10.9. Расстояние от точки до прямой на плоскости	105
10.10. Расстояние от точки до плоскости	106
10.11. Критерии параллельности вектора прямой и плоскости	106
Лекция 11	108
11.1. Линейные пространства	108
11.2. Примеры бесконечномерных линейных пространств	110
11.3. Примеры конечномерных линейных пространств	111
11.4. Базис и размерность	112
11.5. Подпространства линейного пространства	113
11.6. Сумма и пересечение подпространств	114
Лекция 12	116
12.1. Разложение по базису	116
12.2. Изоморфизм линейных пространств	117
12.3. Пространство многочленов	118
12.4. Прямая сумма подпространств	120
12.5. Дополнительные пространства и проекции	122
12.6. Вычисление подпространства	123
Лекция 13	126
13.1. Линейные многообразия	126
13.2. Аффинные множества	127
13.3. Гиперплоскости	128
13.4. Полупространства	129
13.5. Выпуклые множества	130
Лекция 14	132
14.1. Комплексные числа	132
14.2. Комплексная плоскость	133
14.3. Преобразования плоскости	135
14.4. Корни из единицы	137
14.5. Группа корней степени n из единицы	138
14.6. Матрицы с комплексными элементами	139
Лекция 15	140
15.1. Кольца и поля	140
15.2. Делители нуля	141
15.3. Кольцо вычетов	142
15.4. Вложения и изоморфизмы	144
15.5. Число элементов в конечном поле	145
15.6. Поле частных	146
Лекция 16	148
16.1. Линейные пространства над полем	148
16.2. Многочлены над полем	150
16.3. Кольцо многочленов	151
16.4. Деление с остатком	152
16.5. Наибольший общий делитель	153
16.6. Значения многочлена и корни	154
16.7. Присоединение корня	155
Лекция 17	157
17.1. Комплексные многочлены	157
17.2. Последовательности комплексных чисел	157
17.3. Непрерывные функции на комплексной плоскости	158
17.4. Свойства модуля многочлена	159
17.5. Основная теорема алгебры	160
17.6. Разложение комплексных многочленов	161
17.7. Разложение вещественных многочленов	162
Лекция 18	165
18.1. Формулы Виета	165
18.2. Многочлены от n переменных	165
18.3. Лексикографическое упорядочение	166
18.4. Симметрические многочлены	167
18.5. Ньютоновы суммы	169
Лекция 19	170
19.1. Алгебраические многообразия	170
19.2. Квадратичные многочлены от двух переменных	171
19.3. Поворот декартовой системы координат	171
19.4. Сдвиг декартовой системы координат	173
19.5. Эллипс	175
19.6. Гипербола	177
19.7. Парабола	179
Лекция 20	181
20.1. Квадратичные многочлены от трех переменных	181
20.2. Декартовы системы и ортогональные матрицы	181
20.3. Метод вращений	183
20.4. Вложенные подпоследовательности	184
20.5. Диагонализация в пределе	185
20.6. Диагонализация вещественных симметричных матриц	186
Лекция 21	189
21.1. Приведенные уравнения поверхности второго порядка	189
21.2. Эллипсоид	190
21.3. Однополостный гиперболоид	191
21.4. Линейчатая поверхность	191
21.5. Двуполостный гиперболоид	193
21.6. Эллиптический конус	193
21.7. Эллиптический параболоид	193
21.8. Гиперболический параболоид	194
21.9. Цилиндрические поверхности	194
Лекция 22	195
22.1. Нормированное пространство	195
22.2. Выпуклые функции и неравенства	196
22.3. Неравенства Гёльдера и Минковского	197
22.4. Нормы Гёльдера	198
22.5. Зачем нужны нормы?	199
22.6. Нормы в бесконечномерном пространстве	200
22.7. Метрическое пространство	201
22.8. Пределы и полнота	201
Лекция 23	203
23.1. Множества в метрическом пространстве	203
23.2. Компактность и непрерывность	204
23.3. Компактность единичной сферы	205
23.4. Эквивалентные нормы	206
23.5. Компактность замкнутых ограниченных множеств	207
23.6. Наилучшие приближения	208
Лекция 24	210
24.1. Евклидово пространство	210
24.2. Унитарное пространство	210
24.3. Билинейные и полуторалинейные формы	211
24.4. Длина вектора	212
24.5. Тождество параллелограмма	213
24.6. Ортогональность векторов	215
24.7. Ортогональность множеств	216
24.8. Ортогональная сумма подпространств	216
Лекция 25	218
25.1. Матрица Грама	218
25.2. Скалярное произведение в конечномерном пространстве	219
25.3. Перпендикуляр и проекция	220
25.4. Ортогональные системы	222
25.5. Процесс ортогонализации	223
25.6. Дополнение до ортогонального базиса	224
25.7. Биортогональные системы	224
25.8. QR-разложение матрицы	225
Лекция 26	228
26.1. Линейные функционалы	228
26.2. Сопряженное пространство	229
26.3. Примеры линейных функционалов	230
26.4. Размерность дополнительного пространства	230
26.5. Линейные функционалы и гиперплоскости	231
26.6. Опорные гиперплоскости	232
Лекция 27	236
27.1. Линейные операторы	236
27.2. Непрерывность и ограниченность	236
27.3. Операторная норма	237
27.4. Матричная норма	239
27.5. Норма Фробениуса	239
27.6. Сохранение норм	240
27.7. Унитарно инвариантные нормы	241
27.8. Сингулярное разложение матрицы	242
Лекция 28	245
28.1. Матрица линейного оператора	245
28.2. Произведение линейных операторов	246
28.3. Переход к другим базисам	247
28.4. Преобразование подобия	248
28.5. Инвариантные подпространства	249
28.6. Ядро и образ линейного оператора	250
28.7. Обратный оператор	251
28.8. Ортогональные дополнения ядра и образа	252
Лекция 29	254
29.1. Диагонализуемые матрицы	254
29.2. Собственные значения и собственные векторы	255
29.3. Собственные векторы для различных собственных значений	256
29.4. Характеристическое уравнение	257
29.5. Алгебраическая кратность собственного значения	258
29.6. Характеристический многочлен и подобие	258
29.7. Приведение к почти треугольной матрице	259
29.8. Матрицы Фробениуса	260
29.9. Вычисление характеристического многочлена	261
Лекция 30	263
30.1. Одномерные инвариантные подпространства	263
30.2. Геометрическая кратность собственного значения	264
30.3. Матричное выражение инвариантности	264
30.4. Сужение оператора на подпространство	265
30.5. Инвариантные пространства и сдвиги	265
30.6. Треугольная форма матрицы	265
30.7. Спектральный радиус	266
30.8. Теорема Шура	268
30.9. Делители и подпространства	269
Лекция 31	270
31.1. Многочлены от матрицы	270
31.2. Корневые пространства	270
31.3. Нильпотентные операторы	272
31.4. Корневое разложение	272
31.5. Блочно-диагональная форма матрицы	273
31.6. Теорема Гамильтона–Кэли	274
Лекция 32	276
32.1. Минимальное инвариантное подпространство	276
32.2. Жордановы цепочки	277
32.3. Жорданова форма матрицы	277
32.4. Индекс собственного значения	278
32.5. Жорданов базис в корневом пространстве	279
32.6. Существование и единственность жордановой формы	280
32.7. Инвариантные подпространства для вещественных матриц	281
32.8. Вещественный аналог жордановой формы	282
32.9. Вычисление жордановой формы	283
Лекция 33	286
33.1. Нормальные матрицы	286
33.2. Унитарные матрицы	287
33.3. Матрицы отражения и вращения	288
33.4. Эрмитовы матрицы	289
33.5. Эрмитово разложение	289
33.6. Неотрицательная и положительная определенность	290
33.7. Квадратный корень	291
33.8. Блочно-диагональная форма вещественной нормальной матрицы	292
33.9. Блочно-диагональная форма ортогональной матрицы	292
Лекция 34	294
34.1. Матрица Фурье	294
34.2. Циркулянтные матрицы	295
34.3. Алгебры матриц	297
34.4. Одновременное приведение к треугольному виду	298
34.5. Быстрое преобразование Фурье	299
Лекция 35	302
35.1. Сингулярные числа и сингулярные векторы	302
35.2. Полярное разложение	303
35.3. Выводы из сингулярного разложения	304
35.4. Сингулярное разложение и решение систем	305
35.5. Метод наименьших квадратов	305
35.6. Псевдообратная матрица	307
35.7. Наилучшие аппроксимации с понижением ранга	307
35.8. Расстояние до множества вырожденных матриц	309
Лекция 36	310
36.1. Квадратичные формы	310
36.2. Конгруэнтность	311
36.3. Канонический вид квадратичной формы	311
36.4. Закон инерции	312
36.5. Эрмитова конгруэнтность	313
36.6. Канонический вид пары квадратичных форм	313
36.7. Метод Лагранжа	314
36.8. Метод квадратного корня	315
36.9. Критерий положительной определенности	318
Лекция 37	319
37.1. Разделение собственных значений эрмитовой матрицы	319
37.2. Вариационные свойства собственных значений	321
37.3. Возмущения собственных значений	322
37.4. Соотношения разделения	323
37.5. Критерий неотрицательной определенности	325
37.6. Вариационные свойства сингулярных чисел	326
37.7. Разделение сингулярных чисел	327
Лекция 38	328
38.1. Сопряженный оператор	328
38.2. Матрица сопряженного оператора	330
38.3. Нормальный оператор	330
38.4. Самосопряженный оператор	331
38.5. Минимизация на подпространствах	332
38.6. Метод сопряженных градиентов	333
38.7. Двучленные формулы	334
Лекция 39	335
39.1. Спектральные задачи	335
39.2. Непрерывность корней многочлена	336
39.3. Возмущение спектра матрицы	339
39.4. Преобразования отражения и вращения	339
39.5. Приведение к треугольному виду	340
39.6. Приведение к почти треугольному виду	341
39.7. Приведение к двухдиагональному виду	341
39.8. Вычисление сингулярных чисел	342
Лекция 40	344
40.1. Многомерные массивы и матрицы	344
40.2. Трехмерные массивы и трилинейные разложения	345
40.3. Сечения трехмерного массива	345
40.4. Примеры трилинейных разложений	346
40.5. Все не так	347
40.6. Эквивалентные трилинейные разложения	348
40.7. Единственность с точностью до эквивалентности	349
40.8. Тензорный ранг и умножение матриц	351
Дополнение к лекции 1	354
D1.1. Параллельная форма алгоритма	354
D1.2. Схема сдваивания и параллельное умножение матриц	354
D1.3. Матрицы и рекуррентные вычисления	355
D1.4. Модели и реальность	356
Дополнение к лекции 2	357
D2.1. Конечные группы	357
D2.2. Смежные классы, нормальные делители, фактор-группы	358
D2.3. Изоморфизмы групп	358
D2.4. Гомоморфизмы групп	359
D2.5. Избыточность в определении группы	360
Дополнение к лекции 4	361
D4.1. Знакопеременная группа	361
D4.2. Подгруппы симметрической группы	362
D4.3. Четность без инверсий	362
Дополнение к лекции 5	364
D5.1. Функциональное доказательство теоремы Лапласа	364
D5.2. Определители с нулевыми членами	365
Дополнение к лекции 6	367
D6.1. Матрицы с диагональным преобладанием	367
D6.2. Определитель и возмущения	368
Дополнение к лекции 8	369
D8.1. Выбор ведущего элемента	369
D8.2. Вычисление обратной матрицы	371
Дополнение к лекции 13	373
D13.1. Аффинная независимость	373
D13.2. Линейные неравенства и минимизация	374
Дополнение к лекции 14	376
D14.1. Квадратные уравнения	376
D14.2. Кубические уравнения	376
D14.3. Уравнения четвертой степени	377
Дополнение к лекции 16	379
D16.1. Мультипликативная группа поля вычетов	379
D16.2. Результант	379
D16.3. Построения циркулем и линейкой	381
D16.4. Конечные расширения полей	383
D16.5. Круговые многочлены простой степени	384
D16.6. Правильные n-угольники	386
D16.7. Эндоморфизмы и автоморфизмы	387
D16.8. Алгебраические числа	389
Дополнение к лекции 17	391
D17.1. Кратные корни и производные	391
D17.2. Разностные уравнения с постоянными коэффициентами	392
D17.3. Поле разложения	394
D17.4. Корни многочленов над произвольным полем	395
Дополнение к лекции 18	397
D18.1. Еще одно доказательство основной теоремы алгебры	397
D18.2. Нормальные поля и поля разложения	398
D18.3. Радикальные расширения	399
D18.4. Автоморфизмы и расширения	400
D18.5. Расширения Галуа	400
D18.6. Промежуточные поля и подгруппы	401
D18.7. Разрешимость алгебраических уравнений	402
D18.8. Нормальные делители симметрической группы	403
D18.9. Группы при построении правильных многоугольников	404
Дополнение к лекции 19	406
D19.1. Классификация линий второго порядка	406
D19.2. Инварианты линии второго порядка	406
D19.3. Определение типа линии	407
Дополнение к лекции 22	409
D22.1. Пополнение пространства	409
Дополнение к лекции 23	411
D23.1. Подпространства и замкнутость	411
D23.2. Единичная сфера в бесконечномерном пространстве	411
D23.3. Геометрические свойства единичных шаров	412
D23.4. Топологические пространства	413
D23.5. Компактные множества в топологическом пространстве	414
Дополнение к лекции 25	416
D25.1. Потеря ортогональности при вычислениях	416
D25.2. Обобщение теоремы о перпендикуляре	417
Дополнение к лекции 26	419
D26.1. Строение выпуклых множеств	419
D26.2. Линейные неравенства	420
D26.3. Поиск точки в пересечении гиперплоскостей	421
D26.4. Линейные функционалы и скалярные произведения	422
D26.5. Дуальные нормы	423
Дополнение к лекции 27	426
D27.1. Выбор базиса	426
D27.2. Базисы в пространстве многочленов	427
Дополнение к лекции 32	429
D32.1. Минимальный многочлен матрицы	429
D32.2. Жорданова форма: прямое доказательство по индукции	430
Дополнение к лекции 34	432
D34.1. Свертки	432
D34.2. Сложность преобразования Фурье	433
D34.3. Быстрые приближенные вычисления	434
Дополнение к лекции 35	437
D35.1. Общий вид унитарно инвариантных норм	437
Дополнение к лекции 36	438
D36.1. Гиперповерхности второго порядка	438
D36.2. Геометрические свойства гиперповерхностей	439
Дополнение к лекции 37	442
D37.1. Эрмитово возмущение заданного ранга	442
D37.2. Собственные значения и сингулярные числа	443
D37.3. Мажоризация и неравенства	444
Дополнение к лекции 38	448
D38.1. Число итераций	448
D38.2. Как убывают нормы невязок	448
D38.3. Оценка с помощью многочленов Чебышёва	449
D38.4. Предобусловленный метод сопряженных градиентов	451
D38.5. Обобщения метода сопряженных градиентов	452
Дополнение к лекции 39	456
D39.1. Локализация собственных значений	456
D39.2. Расстояние между спектрами нормальных матриц	457
Дополнение к лекции 40	460
D40.1. Преобразования массивов с помощью матриц	460
D40.2. Ортогональные преобразования массивов	460
D40.3. Разложение Таккера	461
Литература	464
Предметный указатель	466

Матричный анализ и линейная алгебра: учебное пособие

Рекомендуем посмотреть

Отзывы: нет